Giải tích Ví dụ

$f (x) = \ln (x^{4})$ ; $x = e^{2}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = e^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $e^{2}$ vào cho $x$ .

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \ln ({(e^{2})}^{4})$

Bước 1.2.2

Rút gọn $\ln ({(e^{2})}^{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{2})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (e^{2 \cdot 4})$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $2$ với $4$ .

$y = \ln (e^{8})$

Bước 1.2.2.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $8$ ra khỏi số mũ.

$y = 8 \ln (e)$

Bước 1.2.2.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y = 8 \cdot 1$

Bước 1.2.2.4

Nhân $8$ với $1$ .

$y = 8$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = e^{2}$ và $y = 8$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Bước 2.2.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Bước 2.2.2.2

Kết hợp $\frac{4}{x^{4}}$ và $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Bước 2.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Bước 2.2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Bước 2.2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Bước 2.2.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{x}$

Bước 2.3

Tính đạo hàm tại $x = e^{2}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{4}{e^{2}}$ và một điểm đã cho $(e^{2}, 8)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - (e^{2}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} \cdot (x - e^{2})$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 8 = \frac{4}{e^{2}} x + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{4}{e^{2}}$ và $x$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (- e^{2})$

Bước 3.3.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Đưa $e^{2}$ ra ngoài $- e^{2}$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + \frac{4}{e^{2}} (e^{2} \cdot - 1)$

Bước 3.3.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} + 4 \cdot - 1$

Bước 3.3.1.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y - 8 = \frac{4 x}{e^{2}} - 4$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $8$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{4 x}{e^{2}} - 4 + 8$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- 4$ và $8$ .

$y = \frac{4 x}{e^{2}} + 4$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{4}{e^{2}} x + 4$

Bước 4