Giải tích Ví dụ

$f (x) = \tan^{2} (x)$ , $(\frac{π}{4}, 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{4}$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{4}$ .

$2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.2

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.3.6.5

Tính số mũ.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.4.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.5

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.5.5

Tính số mũ.

$2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.6

Nhân $2$ với $2$ .

$4 \tan (\frac{π}{4})$

Bước 1.5.7

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 1.5.8

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $4$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{4}, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 4 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $4 \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 1 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 1 = 4 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 1 = 4 x + 4 (- \frac{π}{4})$

Bước 2.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{4}$ vào tử số.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Bước 2.3.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y - 1 = 4 x + 4 \frac{- π}{4}$

Bước 2.3.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$y - 1 = 4 x - π$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 4 x - π + 1$

Bước 3