Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = - 1$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

Bước 1.1.2

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

Bước 1.1.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.4.3.2

Chia $2$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

Bước 1.4.6

Nhân $\ln (x^{2})$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Bước 1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Bước 1.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Bước 1.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

Bước 1.5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

Bước 1.5.4.2

Khai triển $\ln (x^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Bước 1.5.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Bước 1.5.4.3.2

Chia $\ln (x)$ cho $1$ .

$\ln (x) + 1$

Bước 1.6

Tính đạo hàm tại $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

Bước 1.7

Logarit tự nhiên của một số âm là không xác định.

Không xác định

Bước 2

Hệ số góc của đường thẳng không xác định, có nghĩa là nó vuông góc với trục x tại $x = - 1$ .

$x = - 1$

Bước 3