Giải tích Ví dụ

$f (x) = (x^{3} + 2) (3 x^{2} - 4 x + 2)$ ; $(1, 3)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 3$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3} + 2$ và $g (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2] + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 4 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{3} + 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $3$ .

$(x^{3} + 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.5

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.7

Nhân $- 4$ với $1$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.8

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4 + 0) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.9

Cộng $6 x - 4$ và $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Bước 1.2.10

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 1.2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 1.2.12

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2} + 0)$

Bước 1.2.13

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.13.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 x^{2} - 4 x + 2) (3 x^{2})$

Bước 1.2.13.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 \cdot (3 x^{2} - 4 x + 2) x^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + (3 (3 x^{2}) + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 2) x^{2}$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 2) (6 x - 4) + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x^{3} + 2) (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + (x^{3} + 2) \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{3} (6 x) + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1.1

Di chuyển $x$ .

$x \cdot x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.1.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{1} x^{3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{1 + 3} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.1.3

Cộng $1$ và $3$ .

$x^{4} \cdot 6 + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$6 \cdot x^{4} + 2 (6 x) + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.3

Nhân $6$ với $2$ .

$6 x^{4} + 12 x + x^{3} \cdot - 4 + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.4

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 \cdot x^{3} + 2 \cdot - 4 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.5

Nhân $2$ với $- 4$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 3 (3 x^{2}) x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.6

Nhân $3$ với $3$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2} x^{2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.7

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{2 + 2} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.7.3

Cộng $2$ và $2$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} + 3 (- 4 x) x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.8

Nhân $- 4$ với $3$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.9

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.9.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.9.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.9.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.9.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{2 + 1} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.9.3

Cộng $2$ và $1$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 3 \cdot 2 x^{2}$

Bước 1.3.6.10

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 + 9 x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 1.3.6.11

Cộng $6 x^{4}$ và $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} + 12 x - 4 x^{3} - 8 - 12 x^{3} + 6 x^{2}$

Bước 1.3.6.12

Trừ $12 x^{3}$ khỏi $- 4 x^{3}$ .

$15 x^{4} + 12 x - 16 x^{3} - 8 + 6 x^{2}$

Bước 1.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$15 x^{4} - 16 x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - 8$

Bước 1.4

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$15 {(1)}^{4} - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$15 \cdot 1 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Bước 1.5.1.2

Nhân $15$ với $1$ .

$15 - 16 {(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Bước 1.5.1.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$15 - 16 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Bước 1.5.1.4

Nhân $- 16$ với $1$ .

$15 - 16 + 6 {(1)}^{2} + 12 (1) - 8$

Bước 1.5.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$15 - 16 + 6 \cdot 1 + 12 (1) - 8$

Bước 1.5.1.6

Nhân $6$ với $1$ .

$15 - 16 + 6 + 12 (1) - 8$

Bước 1.5.1.7

Nhân $12$ với $1$ .

$15 - 16 + 6 + 12 - 8$

Bước 1.5.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Trừ $16$ khỏi $15$ .

$- 1 + 6 + 12 - 8$

Bước 1.5.2.2

Cộng $- 1$ và $6$ .

$5 + 12 - 8$

Bước 1.5.2.3

Cộng $5$ và $12$ .

$17 - 8$

Bước 1.5.2.4

Trừ $8$ khỏi $17$ .

$9$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $9$ và một điểm đã cho $(1, 3)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 9 \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn $9 \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại.

$y - 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 3 = 9 \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 3 = 9 x + 9 \cdot - 1$

Bước 2.3.1.4

Nhân $9$ với $- 1$ .

$y - 3 = 9 x - 9$

Bước 2.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 9 x - 9 + 3$

Bước 2.3.2.2

Cộng $- 9$ và $3$ .

$y = 9 x - 6$

Bước 3