Giải tích Ví dụ

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$ ; $x = \frac{π}{4}$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $\frac{π}{4}$ vào cho $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$

Bước 1.2.2

Rút gọn $2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$y = \sin (2 \frac{π}{4})$

Bước 1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

Bước 1.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Bước 1.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.2.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$y = 1$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = \frac{π}{4}$ và $y = 1$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 2.8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 2.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 2.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 2.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 2.13.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 2.14

Tính đạo hàm tại $x = \frac{π}{4}$ .

$- 2 \sin^{2} (\frac{π}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{2^{1}}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.3.5

Tính số mũ.

$- 2 \frac{2}{2^{2}} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 (\frac{2}{4}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{2}{4} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{2}{2 \cdot 2} + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 (\frac{2}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1 + 2 \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Bước 2.15.1.8

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{4})$ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Bước 2.15.1.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 1 + 2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.10.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 2 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + 2 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 + 2 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.10.5

Tính số mũ.

$- 1 + 2 \frac{2}{2^{2}}$

Bước 2.15.1.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- 1 + 2 (\frac{2}{4})$

Bước 2.15.1.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- 1 + 2 \frac{2}{2 (2)}$

Bước 2.15.1.12.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 1 + 2 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Bước 2.15.1.12.3

Viết lại biểu thức.

$- 1 + \frac{2}{2}$

Bước 2.15.1.13

Chia $2$ cho $2$ .

$- 1 + 1$

Bước 2.15.2

Cộng $- 1$ và $1$ .

$0$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $0$ và một điểm đã cho $(\frac{π}{4}, 1)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0 \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 1 = 0 \cdot (x - \frac{π}{4})$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $0$ với $x - \frac{π}{4}$ .

$y - 1 = 0$

Bước 3.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 1$

Bước 4