Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{- x}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.3

Kết hợp $e^{- x}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Bước 1.5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Bước 1.5.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Bước 1.5.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Bước 1.5.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Bước 1.6

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Bước 1.7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Bước 1.7.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Bước 1.7.2.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Bước 1.7.2.4

Nhân $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Bước 1.7.2.4.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Bước 1.7.2.5

Di chuyển $e^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Bước 1.7.3

Cộng $0$ và $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{1}{e}$ và một điểm đã cho $(1, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.2

Rút gọn $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Bước 2.3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{e}$ và $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Bước 2.3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Bước 3