Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x^{\frac{7}{2}})$ ; $(1, 0)$

Bước 1

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 1$ và $y = 0$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Bước 1.6.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Bước 1.7

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Bước 1.8

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ với $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Bước 1.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Bước 1.9.2

Di chuyển $x^{\frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Bước 1.10

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Nhân $x^{\frac{7}{2}}$ với $x^{- \frac{5}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1.1

Di chuyển $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Bước 1.10.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{7}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Bước 1.10.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{7}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Bước 1.10.1.4

Cộng $- 5$ và $7$ .

$\frac{7}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.10.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{7}{2 x^{1}}$

Bước 1.10.2

Rút gọn $2 x^{1}$ .

$\frac{7}{2 x}$

Bước 1.11

Tính đạo hàm tại $x = 1$ .

$\frac{7}{2 (1)}$

Bước 1.12

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{7}{2}$

Bước 2

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{7}{2}$ và một điểm đã cho $(1, 0)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{7}{2} \cdot (x - (1))$

Bước 2.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y + 0 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Bước 2.3.2

Rút gọn $\frac{7}{2} \cdot (x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Bước 2.3.2.3

Nhân $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{7 \cdot - 1}{2}$

Bước 2.3.2.3.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Bước 2.3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{7}{2} x - \frac{7}{2}$

Bước 3