Giải tích Ví dụ

$\int (x + 3) {(x - 1)}^{5} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (u + 1 + 3) u^{5} d u$

Bước 2

Cộng $1$ và $3$ .

$\int (u + 4) u^{5} d u$

Bước 3

Nhân $(u + 4) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 4 u^{5} d u$

Bước 4

Nhân $u$ với $u^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $u$ với $u^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 4 u^{5} d u$

Bước 4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 5} + 4 u^{5} d u$

Bước 4.2

Cộng $1$ và $5$ .

$\int u^{6} + 4 u^{5} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{6} d u + \int 4 u^{5} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int 4 u^{5} d u$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 \int u^{5} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + 4 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{1}{7} u^{7} + 4 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{4}{6} u^{6} + C$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 (2)}{6} u^{6} + C$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Bước 9.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{6} + C$

Bước 9.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{2}{3} u^{6} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{6} + C$