Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (\sqrt{x})}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2 x} d x$ , nên $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 x} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (\sqrt{x})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (\sqrt{x})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{x})]$

Bước 1.1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.3.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.1.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.1.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.1.8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.1.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.11

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Bước 1.1.12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.12.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.12.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.13.1.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 1.1.13.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 1.1.13.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Bước 1.1.13.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.13.1.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Bước 1.1.13.2

Rút gọn $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int 2 u_{2} d u_{2}$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Bước 4.2

Viết lại $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ ở dạng $1 {u_{2}}^{2} + C$ .

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Bước 4.3

Nhân ${u_{2}}^{2}$ với $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\ln (\sqrt{x})$ .

$\ln^{2} (\sqrt{x}) + C$