Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (2 x) \cos (2 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \sin (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \sin (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Bước 1.1.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{6})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Bước 1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{3})$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2})$

Bước 1.5.1.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \sin (π)$

Bước 1.5.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{upper} = \sin (0)$

Bước 1.5.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 2

Kết hợp ${u_{2}}^{5}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} \frac{{u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{5}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{0}$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ tại $0$ và tại $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 0^{6}) - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Bước 5.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Bước 5.2.2

Nhân $\frac{1}{6}$ với $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Bước 5.2.3

Trừ $\frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Bước 5.3.2

Nhân $2$ với $6$ .

$- \frac{1}{12} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{12} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{6}$

Dạng thập phân:

$- 0.03515625$