Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 3^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Bước 4.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $3$ .

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

Bước 4.1.4

Cộng $0$ và $3^{u_{1}} \ln (3)$ .

$3^{u_{1}} \ln (3)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

Bước 5

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{\ln (3)}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{\ln (3)}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{\ln (3)}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 7.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (3)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + 3^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$