Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = e^{x} + 1$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = e^{x} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = e^{x} + 1$ .

$u_{lower} = e^{0} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = e^{x} + 1$ .

$u_{upper} = e^{1} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

$u_{upper} = e + 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e + 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{e + 1} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{e + 1}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $e + 1$ và tại $2$ .

$(\ln (| e + 1 |)) - \ln (| 2 |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e + 1 |}{| 2 |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

$e + 1$ xấp xỉ $3.71828182$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{e + 1}{| 2 |})$

Bước 5.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (\frac{e + 1}{2})$

Dạng thập phân:

$0.62011450 \dots$