Giải tích Ví dụ

$\int e^{\cos (π x)} \sin (π x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (π x)$ . Sau đó $d u_{2} = - π \sin (π x) d x$ , nên $- \frac{1}{π} d u_{2} = \sin (π x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (π x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = π x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $π x$ đối với $x$ là $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $π$ với $1$ .

$- \sin (π x) π$

Bước 1.1.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int - e^{u_{2}} \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int - e^{u_{2}} \frac{1}{π} d u_{2}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $e^{u_{2}}$ .

$\int - \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{π} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{π}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{π}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{π} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{π} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

$- \frac{1}{π} e^{u_{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (π x)$ .

$- \frac{1}{π} e^{\cos (π x)} + C$