Giải tích Ví dụ

$\int_{3}^{4} x \sqrt{x - 3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 3$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Bước 1.3

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Bước 1.5

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} (u + 3) \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} (u + 3) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Khai triển $(u + 3) u^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{1} u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{1} u^{1 + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{2 + 1}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.6

Cộng $2$ và $1$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} + 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.7

Sắp xếp lại $u^{\frac{3}{2}}$ và $3 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} 3 u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$3 ((\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 8.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.2.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.3.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$3 (\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.4.2

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} + 0) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.5

Cộng $\frac{2}{3}$ và $0$ .

$3 (\frac{2}{3}) + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.6.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.7.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 + \frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.7.2

Nhân $\frac{2}{5}$ với $1$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Bước 8.8.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Bước 8.8.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Bước 8.8.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5}$

Bước 8.8.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 + \frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0$

Bước 8.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5})$

Bước 8.9.2

Nhân $0$ với $\frac{2}{5}$ .

$2 + \frac{2}{5} + 0$

Bước 8.10

Cộng $\frac{2}{5}$ và $0$ .

$2 + \frac{2}{5}$

Bước 8.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.1

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$

Bước 8.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5}$

Bước 8.11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 \cdot 5 + 2}{5}$

Bước 8.11.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.11.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{10 + 2}{5}$

Bước 8.11.4.2

Cộng $10$ và $2$ .

$\frac{12}{5}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{12}{5}$

Dạng thập phân:

$2.4$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{2}{5}$