Giải tích Ví dụ

$\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Bước 1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $2$ ra khỏi số mũ.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Bước 1.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Bước 1.5.3

Nhân $2$ với $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{2}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $2$ và tại $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Bước 5.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Bước 5.3

Chia $2$ cho $1$ .

$\ln (2)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (2)$

Dạng thập phân:

$0.69314718 \dots$