Giải tích Ví dụ

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 1.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $7$ và $\frac{u}{4}$ .

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

Bước 5

Vì $\frac{7}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{7}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

Bước 7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

Bước 8.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Bước 10.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Bước 10.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Bước 10.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

Bước 10.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $14 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.4

Kết hợp $7$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.5

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Bước 10.6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$