Giải tích Ví dụ

$\int e^{- x} \tan (e^{- x}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = - x$ . Sau đó $d u_{1} = - d x$ , nên $- d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = - x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int - e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int e^{u_{1}} \tan (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Sau đó $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \int \tan (u_{2}) d u_{2}$

Bước 4

Tích phân của $\tan (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$- (\ln (| \sec (u_{2}) |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$- \ln (| \sec (u_{2}) |) + C$

Bước 6

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{u_{1}}$ .

$- \ln (| \sec (e^{u_{1}}) |) + C$

Bước 6.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- x$ .

$- \ln (| \sec (e^{- x}) |) + C$