Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{3}$ . Sau đó $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{e^{u_{1}}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{3 e^{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Làm âm số mũ của $e^{u_{1}}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\frac{1}{3} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 4.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Bước 4.2.1.3

Viết lại $- 1 u_{1}$ ở dạng $- u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 4.2.2

Nhân $e^{- u_{1}}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = - u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = - d u_{1}$ , nên $- d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = - u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

Bước 5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 7

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- (e^{u_{2}} + C))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} (- e^{u_{2}}) + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{e^{u_{2}}}{3} + C$

Bước 9

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- u_{1}$ .

$- \frac{e^{- u_{1}}}{3} + C$

Bước 9.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$- \frac{e^{- x^{3}}}{3} + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$