Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} e^{- x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

Bước 2.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

Bước 2.4

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u^{2}$ và $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

Bước 6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

Bước 7

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

Bước 9

Viết lại $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ ở dạng $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Bước 11.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Bước 11.1.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Bước 11.1.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

Bước 11.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$