Giải tích Ví dụ

$\int (x + 1) \sqrt{2 - x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (- (- u + 2) - 1) \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Khai triển $(- (- u + 2) - 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- - u - 1 \cdot 2 - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int - - u u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.4

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int - - 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.6

Nhân $u$ với $1$ .

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.7

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.11

Cộng $2$ và $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.12

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3.13

Trừ $1 u^{\frac{1}{2}}$ khỏi $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Vì $- 3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8.2.3.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 - x$ .

$\frac{2}{5} {(2 - x)}^{\frac{5}{2}} - 2 {(2 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$