Giải tích Ví dụ

$\int \sin (t) \sqrt{1 + \cos (t)} d t$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$0 - \sin (t)$

Bước 1.1.4

Trừ $\sin (t)$ khỏi $0$ .

$- \sin (t)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \sqrt{u} d u$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5

Viết lại $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \cos (t)$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \cos (t))}^{\frac{3}{2}} + C$