Giải tích Ví dụ

$\int \frac{3 (1 - \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

Bước 2

Giả sử $u = \tan (x)$ . Sau đó $d u = \sec^{2} (x) d x$ , nên $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 \int 1 (1 - u^{2}) d u$

Bước 3.2

Nhân $1 - u^{2}$ với $1$ .

$3 \int 1 - u^{2} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 (\int d u + \int - u^{2} d u)$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (u + C + \int - u^{2} d u)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (u + C - \int u^{2} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Bước 8

Rút gọn.

$3 (u - \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$3 (\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x)) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\tan^{3} (x)$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 (\tan (x) - \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \tan (x) + 3 (- \frac{\tan^{3} (x)}{3}) + C$

Bước 10.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\tan^{3} (x)}{3}$ vào tử số.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \tan (x) + 3 \frac{- \tan^{3} (x)}{3} + C$

Bước 10.3.3

Viết lại biểu thức.

$3 \tan (x) - \tan^{3} (x) + C$