Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 3.2

Nhân $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ với $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

Bước 4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ và $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ tại $\frac{3 π}{2}$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Kết hợp $\frac{3 π}{2}$ và $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.2.2.2

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Bước 5.2.2.3

Để viết $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.2.2.4

Kết hợp $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.2.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.3

Nhân $π$ với $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.6

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

Bước 5.3.8

Để viết $\sin (\frac{3 π}{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

Bước 5.3.9

Kết hợp $\sin (\frac{3 π}{2})$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Bước 5.3.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.3.13

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.3.14

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.3.15

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Bước 5.3.16

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Bước 5.3.17

Viết lại $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ ở dạng $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

Bước 5.3.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.4.3

Nhân $3 π \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Nhân $0$ với $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.4.3.2

Nhân $0$ với $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Bước 5.4.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

Bước 5.4.5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

Bước 5.4.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

Bước 5.4.7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

Bước 5.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $0 + 2 + 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

Bước 5.4.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

Bước 5.4.8.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

Bước 5.4.8.4

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

Bước 5.4.8.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

Bước 5.4.8.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.8.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

Bước 5.4.8.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.8.6.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

Bước 5.4.8.6.4

Chia $0 + 1 + 1$ cho $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

Bước 5.4.9

Cộng $0$ và $1$ .

$- (1 + 1)$

Bước 5.4.10

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Bước 5.4.11

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2$