Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = 1 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $4$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{5} u d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

Bước 3

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{2} u^{2}$ tại $5$ và tại $2$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $25$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

Bước 3.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Bước 3.2.5

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Bước 3.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Bước 3.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 3.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

Bước 3.2.6.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\frac{25}{2} - 2$

Bước 3.2.7

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.2.8

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

Bước 3.2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{25 - 4}{2}$

Bước 3.2.10.2

Trừ $4$ khỏi $25$ .

$\frac{21}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{21}{2}$

Dạng thập phân:

$10.5$

Dạng hỗn số:

$10 \frac{1}{2}$

Bước 5