Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} d x$

Bước 3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ sang $\sec^{2} (5 x)$ .

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 5

Vì $\frac{6}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{6}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 2}} d x + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = 4 x + 2$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 x + 2$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 2]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 6.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 6.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 6.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 6.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 6.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 4} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 7.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{1}{4 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.1.2

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{6}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{20} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $20$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.2.2

Di chuyển ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.2.3

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 9.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{10} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{1}$ là $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (5 x) d x$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = 5 x$ . Sau đó $d u_{2} = 5 d x$ , nên $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = 5 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 11.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

Bước 12

Kết hợp $\sec^{2} (u_{2})$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{5} d u_{2}$

Bước 13

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 14

Vì đạo hàm của $\tan (u_{2})$ là $\sec^{2} (u_{2})$ , tích phân của $\sec^{2} (u_{2})$ là $\tan (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{5} (\tan (u_{2}) + C)$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x + 2$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (u_{2}) + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$\frac{3 {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{5} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$

Bước 18

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{6}{5 \sqrt{4 x + 2}} + \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} {(4 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} \tan (5 x) + C$