Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.8.3

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Bước 4.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 4.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 4.11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Bước 4.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Bước 4.13.2

Kết hợp $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 4.13.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 4.13.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 4.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.2

Nhân $1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.3

Nhân tử số và mẫu số của phân số với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.3.1

Nhân $\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.3.2

Kết hợp.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 4.14.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 4.14.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.6

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.7.1

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.7.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.7.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Bước 4.14.7.1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 4.14.7.1.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{1}}$

Bước 4.14.7.2

Rút gọn ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 + x^{2}}$

Bước 4.14.7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$