Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Bước 1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Bước 2

Giả sử $u = \csc (x)$ . Sau đó $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , nên $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = \csc (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\csc (x)$ đối với $x$ là $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Bước 2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Bước 2.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Bước 2.5

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Bước 3

Viết lại $- 1 u$ ở dạng $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Bước 8.2.2

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Bước 8.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Bước 8.2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Bước 8.2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Bước 8.2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Bước 8.2.2.5

Tính số mũ.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Bước 8.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Bước 8.2.5

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Bước 8.2.6

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Bước 8.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 8.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.8.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Bước 8.2.8.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Bước 8.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (- \frac{1}{2})$

Bước 8.2.10

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Bước 8.2.11

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Bước 8.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$- 1.5$

Dạng hỗn số:

$- 1 \frac{1}{2}$