Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{6 - 2 x^{2}})}^{5})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $6 - 2 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{5}]$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{5}]$

Bước 3.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{5}]$

Bước 3.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Bước 3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{5}]$

Bước 3.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{5}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) - 2 x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3) + 2 (- x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3) + 2 (- x^{2})$ .

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (3 - x^{2})})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.2.3.2.5

Viết lại biểu thức.

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$ .

$5 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}])$

Bước 3.3.2

Nhân $2$ với $5$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 - x^{2}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{(3 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 - x^{2}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 \cdot (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.7.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.5.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.6

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển $x$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.6.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.6.3

Cộng $1$ và $2$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$10 {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4} \frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ và $10$ .

$\frac{(2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}) \cdot 10}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Bước 3.9

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3}$ .

$\frac{10 \cdot (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}})}^{4}$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2 x^{2}}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(2 x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (3 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{10 ((2 \cdot 3 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{10 (2 \cdot 3 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.6.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{10 (6 x) + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.2

Nhân $6$ với $10$ .

$\frac{60 x + 10 (2 (- x^{2}) x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{2} x) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{1 + 2}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.6

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{60 x + 10 (- 2 x^{3}) + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.7

Nhân $- 2$ với $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 10 (2 x^{3})}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.8

Nhân $2$ với $10$ .

$\frac{60 x - 20 x^{3} + 20 x^{3}}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.9

Cộng $- 20 x^{3}$ và $20 x^{3}$ .

$\frac{60 x + 0}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.10

Cộng $60 x$ và $0$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{2^{4} {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.11

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 {(x^{2})}^{4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.12

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.6.12.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{2 \cdot 4}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.12.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.13

Nhân $\frac{60 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ với $\frac{16 x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$ .

$\frac{60 x (16 x^{8})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.14

Nhân $16$ với $60$ .

$\frac{960 x \cdot x^{8}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.15

Nhân $x$ với $x^{8}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.6.15.1

Di chuyển $x^{8}$ .

$\frac{960 (x^{8} x)}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.15.2

Nhân $x^{8}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.6.15.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{960 (x^{8} x^{1})}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.15.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{960 x^{8 + 1}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.15.3

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{4}}$

Bước 3.10.6.16

Nhân ${(3 - x^{2})}^{2}$ với ${(3 - x^{2})}^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.6.16.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 4}}$

Bước 3.10.6.16.2

Cộng $2$ và $4$ .

$\frac{960 x^{9}}{{(3 - x^{2})}^{6}}$

Bước 3.10.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{960 x^{9}}{{(- x^{2} + 3)}^{6}}$