Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{1 + x^{4}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{4}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 + x^{4}$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $1 + x^{4}$ với $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 3.7

Nhân $4$ với $- 1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 4

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 4.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $3$ và $1$ .

$2 \frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 5

Trừ $4 x^{4}$ khỏi $x^{4}$ .

$2 \frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp $2$ và $\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 3 x^{4})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 7.2.2

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{2 - 6 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

Bước 7.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$