Giải tích Ví dụ

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 6$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 6$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Bước 1.1.4

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Bước 2

Khai triển $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 2.4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Bước 2.8

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Bước 2.9

Cộng $12 u^{2}$ và $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Bước 6

Vì $13$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $13$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Bước 8.2.3

Kết hợp $13$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$