Giải tích Ví dụ

$\frac{d}{d x} (\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 + x^{2}$ và $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 8

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x - (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 13

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 1 (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 13.2

Nhân $1 + x^{2}$ với $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 15

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $2$ và $\frac{3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 15.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} x}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 15.3

Kết hợp $x$ và $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 15.4

Đưa $2$ ra ngoài $x (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 16

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{2 (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 16.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) \frac{x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 16.4

Chia $x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ cho $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 + x^{2}) (x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (1 x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2} x^{1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{2 + 1}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2.1.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + (x + x^{3}) (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + x (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{3} (3 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} x + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{3}}$

Bước 17.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 x {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 3 x^{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 1)}^{3}}$