Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$ ở dạng ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \cos (2 x) - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 7

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (2 x) - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 8.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 9.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 9.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 9.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 10

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$

Bước 11

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$ .

$(- 2 \sin (2 x) - \cos (x)) \frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$