Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

Bước 2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ và $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Bước 6.2

Tính $- x - \cot (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Bước 6.3.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{6})$ là $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 6.3.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 6.3.4

Cộng $- \frac{π}{2}$ và $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Bước 6.3.5

Để viết $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Bước 6.3.6

Kết hợp $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ và $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Bước 6.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Bước 6.3.8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.3.9

Kết hợp $7$ và $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.3.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- π$ .

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.3.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ .

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Bước 6.3.12

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Bước 6.3.13

Viết lại $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ ở dạng $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Bước 6.3.14

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{6}$ vào tử số.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.4.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Bước 6.4.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.5

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.6

Kết hợp $π$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.8

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.9

Trừ $π$ khỏi $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.11

Nhân $7 \frac{2 π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.11.1

Kết hợp $7$ và $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.11.2

Nhân $2$ với $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.12

Nhân $- 2$ với $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{14 π}{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Bước 6.4.13.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 14 \sqrt{3}$ .

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.13.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

Bước 6.4.13.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.13.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Bước 6.4.13.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 6.4.13.4.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

Bước 6.4.13.4.4

Chia $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ cho $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

Bước 6.4.14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

Bước 6.4.15

Nhân $- 7$ với $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$4.79397279 \dots$