Giải tích Ví dụ

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Sau đó $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \sec (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.1.3

Viết lại $\sec (3 x)$ theo sin và cosin.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.1.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.1.5

Nhân $\cos (3 x)$ với $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 2.1.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.1.6.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.1.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.1.7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.1.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Bước 2.1.7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Bước 2.1.7.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Bước 2.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1.1

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Bước 2.1.8.1.2

Sắp xếp lại $\cos (3 x)$ và $\sec (3 x)$ .

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Bước 2.1.8.1.3

Viết lại $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ theo sin và cosin.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Bước 2.1.8.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Bước 2.1.8.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Bước 2.1.8.3

Viết lại $\tan (3 x)$ theo sin và cosin.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 2.1.8.4

Kết hợp $3$ và $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 2.1.8.5

Tách các phân số.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 2.1.8.6

Quy đổi từ $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ sang $\tan (3 x)$ .

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Bước 2.1.8.7

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Bước 3

Kết hợp $u_{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{3}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{5}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$