Giải tích Ví dụ

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Bước 2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 3.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Bước 3.5

Kết hợp $\tan^{2} (x)$ và $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Bước 3.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Bước 3.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Bước 3.8.2

Chia $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ cho $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Bước 4.2

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Bước 4.2.2

Nhân với $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Bước 4.2.3

Đưa $\sec^{2} (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Bước 4.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Bước 4.4

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Bước 4.4.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\sec^{4} (x)$