Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Bước 1.5

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.2.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Bước 4.2.6

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Bước 4.2.7

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Bước 4.2.8

Nhân $0$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0$

Bước 4.2.9

Cộng $\frac{2}{3}$ và $0$ .

$\frac{2}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$