Giải tích Ví dụ

$z = \ln (x^{2} + y^{2})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Bước 2

Đạo hàm của $z$ đối với $x$ là $z'$ .

$z'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Bước 3.2.3

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0)$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x)$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} x$

Bước 3.2.4.3

Kết hợp $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$z' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Bước 5

Thay thế $z'$ bằng $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$