Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5}{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{3} x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.3.5

Kết hợp $\frac{- 2}{3}$ và $x$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\frac{5}{9}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{9} x$ đối với $x$ là $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \cdot 1$

Bước 1.4.3

Nhân $\frac{5}{9}$ với $1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Bước 1.5

Cộng $0$ và $\frac{5 x^{4}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{5}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{5}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.2.4

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.2.5

Kết hợp $\frac{20}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 x}{3}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $\frac{5}{9}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{5}{9}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{20}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{20 x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{20}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{20}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.4

Nhân $3$ với $20$ .

$\frac{60}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.5

Kết hợp $\frac{60}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{60 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $60 x^{2}$ .

$\frac{3 (20 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.2.6.2.4

Chia $20 x^{2}$ cho $1$ .

$20 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{2}{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{2}{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$20 x^{2} + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $20 x^{2}$ và $0$ .

$f''' (x) = 20 x^{2}$