Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1 - \cos (4 x)}{\sin (4 x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - \cos (4 x)$ và $g (x) = \sin (4 x)$ .

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (4 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

$\frac{\sin (4 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sin (4 x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

$\frac{\sin (4 x) \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (4 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$\frac{\sin (4 x) (- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{\sin (4 x) (- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$\frac{\sin (4 x) (- (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 4

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\sin (4 x) (1 (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 4.2

Nhân $\sin (4 x)$ với $1$ .

$\frac{\sin (4 x) (\sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 5

Nâng $\sin (4 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 6

Nâng $\sin (4 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sin^{1} (4 x) \sin^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 8

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 8.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 8.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) (4 \cdot 1) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{\sin^{2} (4 x) \cdot 4 - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 8.4.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sin^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 9.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 10

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 10.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 10.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x) \cdot 1}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 10.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 (1 - \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + (- 4 \cdot 1 - 4 (- \cos (4 x))) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cdot 1 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) - 4 (- \cos (4 x)) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.1.2

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos (4 x) \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.1.3

Nhân $4 \cos (4 x) \cos (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.3.1

Nâng $\cos (4 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.1.3.2

Nâng $\cos (4 x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 (\cos^{1} (4 x) \cos^{1} (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.1.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 {\cos (4 x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.1.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.2

Di chuyển $4 \cos^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 \sin^{2} (4 x) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \sin^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 \cos^{2} (4 x) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cos^{2} (4 x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (\sin^{2} (4 x)) + 4 (\cos^{2} (4 x))$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (4 x) + \cos^{2} (4 x)) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{4 \cdot 1 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.3.7

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 - 4 \cos (4 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (1) - 4 \cos (4 x)}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.4.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{4 (1) + 4 (- \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$

Bước 11.4.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \cos (4 x))$ .

$\frac{4 (1 - \cos (4 x))}{\sin^{2} (4 x)}$