Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Bước 1.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Bước 1.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{- 1}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 1}^{0}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ tại $0$ và tại $- 1$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.4

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.5

Nhân $\frac{3}{2}$ với $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.6

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 4.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 4.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Bước 4.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{2}$

Bước 4.2.9

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Bước 4.2.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - \frac{3}{2}$

Bước 4.2.11

Trừ $\frac{3}{2}$ khỏi $0$ .

$- \frac{3}{2}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$- 1.5$

Dạng hỗn số:

$- 1 \frac{1}{2}$

Bước 6