Giải tích Ví dụ

$\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$

Bước 1

Vì $70$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{70 t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}$ đối với $t$ là $70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(3 t^{2} + 8)}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ là $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ trong đó $f (t) = t$ và $g (t) = {(3 t^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 t^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ với $1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = 3 t^{2} + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 t^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 t^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - t (2 (3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$70 \frac{{(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $3 t^{2} + 8$ ra ngoài ${(3 t^{2} + 8)}^{2} - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3 t^{2} + 8$ ra ngoài ${(3 t^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) - 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $3 t^{2} + 8$ ra ngoài $- 2 t ((3 t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $3 t^{2} + 8$ ra ngoài $(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8) + (3 t^{2} + 8) (- 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{{(3 t^{2} + 8)}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $3 t^{2} + 8$ ra ngoài ${(3 t^{2} + 8)}^{4}$ .

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$70 \frac{(3 t^{2} + 8) (3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8]))}{(3 t^{2} + 8) {(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2} + 8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{2} + 8$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{2}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 10

Nhân $2$ với $3$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + \frac{d}{d t} [8])}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 11

Vì $8$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $8$ đối với $t$ là $0$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $6 t$ và $0$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 2 t (6 t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 12.2

Nhân $6$ với $- 2$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 13

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 14

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 16

Cộng $1$ và $1$ .

$70 \frac{3 t^{2} + 8 - 12 t^{2}}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 17

Trừ $12 t^{2}$ khỏi $3 t^{2}$ .

$70 \frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 18

Kết hợp $70$ và $\frac{- 9 t^{2} + 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Nhân $- 9$ với $70$ .

$\frac{- 630 t^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.2.2

Nhân $70$ với $8$ .

$\frac{- 630 t^{2} + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.3

Đưa $70$ ra ngoài $- 630 t^{2} + 560$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Đưa $70$ ra ngoài $- 630 t^{2}$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 560}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.3.2

Đưa $70$ ra ngoài $560$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.3.3

Đưa $70$ ra ngoài $70 (- 9 t^{2}) + 70 (8)$ .

$\frac{70 (- 9 t^{2} + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 9 t^{2}$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2}) + 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.5

Viết lại $8$ ở dạng $- 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (9 t^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.7

Viết lại $- (9 t^{2} - 8)$ ở dạng $- 1 (9 t^{2} - 8)$ .

$\frac{70 (- 1 (9 t^{2} - 8))}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$

Bước 19.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{70 (9 t^{2} - 8)}{{(3 t^{2} + 8)}^{3}}$