Giải tích Ví dụ

$y = \cot^{2} (1 - \sin (x))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cot (1 - \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (1 - \sin (x))$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cot (1 - \sin (x))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 - \sin (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) (- \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) (\csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)])$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Bước 3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 3.6

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \cot (1 - \sin (x)) \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Bước 5.2

Viết lại $\csc (1 - \sin (x))$ theo sin và cosin.

$2 {(\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})}^{2} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Bước 5.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Bước 5.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ .

$\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cos (x) \cot (1 - \sin (x))$

Bước 5.6

Kết hợp $\frac{2}{\sin^{2} (1 - \sin (x))}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x))$

Bước 5.7

Viết lại $\cot (1 - \sin (x))$ theo sin và cosin.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$

Bước 5.8

Kết hợp.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))}$

Bước 5.9

Nhân $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ với $\sin (1 - \sin (x))$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Nhân $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ với $\sin (1 - \sin (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1.1

Nâng $\sin (1 - \sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x)) \sin^{1} (1 - \sin (x))}$

Bước 5.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{{\sin (1 - \sin (x))}^{2 + 1}}$

Bước 5.9.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{3} (1 - \sin (x))}$

Bước 5.10

Đưa $\sin (1 - \sin (x))$ ra ngoài $\sin^{3} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin^{2} (1 - \sin (x))}$

Bước 5.11

Tách các phân số.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$

Bước 5.12

Viết lại $\frac{\cos (x)}{\sin (1 - \sin (x))}$ ở dạng một tích.

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Bước 5.13

Viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Bước 5.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.14.1

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))})$

Bước 5.14.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ sang $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin^{2} (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.15

Đưa $\sin (1 - \sin (x))$ ra ngoài $\sin^{2} (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x)) \sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.16

Tách các phân số.

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cdot \frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))} (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.17

Quy đổi từ $\frac{\cos (1 - \sin (x))}{\sin (1 - \sin (x))}$ sang $\cot (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.18

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (1 - \sin (x))} \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.19

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (1 - \sin (x))}$ sang $\csc (1 - \sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.20

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$

Bước 5.21

Nhân $2 \csc (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) (\cos (x) \csc (1 - \sin (x)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.21.1

Nâng $\csc (1 - \sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Bước 5.21.2

Nâng $\csc (1 - \sin (x))$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\csc^{1} (1 - \sin (x)) \csc^{1} (1 - \sin (x))) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Bước 5.21.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 {\csc (1 - \sin (x))}^{1 + 1} \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$

Bước 5.21.4

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \csc^{2} (1 - \sin (x)) \cot (1 - \sin (x)) \cos (x)$