Giải tích Ví dụ

$y = \ln (x + y)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Bước 3.4.2

Nhân $1 + y'$ với $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Bước 5.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Bước 5.2.2.1.2

Sắp xếp lại $1$ và $y'$ .

$y' x + y' y = y' + 1$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $y'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' x + y' y - y' = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x + y' y - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Bước 5.3.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y$ .

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Bước 5.3.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Bước 5.3.2.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x) + y' (y)$ .

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Bước 5.3.2.5

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + y - 1) = 1$

Bước 5.3.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + y - 1) = 1$ cho $x + y - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + y - 1) = 1$ cho $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Bước 5.3.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$