Giải tích Ví dụ

$\ln (3 x) e^{5 x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \ln (3 x)$ và $g (x) = e^{5 x}$ .

$\ln (3 x) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$\ln (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\ln (3 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $5$ với $1$ .

$\ln (3 x) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $e^{5 x}$ .

$\ln (3 x) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x}$ và $e^{5 x}$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{e^{5 x}}{3 x}$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \cdot 1$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $\frac{e^{5 x}}{x}$ với $1$ .

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x}$

Bước 5.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$5 e^{5 x} \ln (3 x) + \frac{e^{5 x}}{x}$