Giải tích Ví dụ

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

Bước 1

Viết $\frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}} d x$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(x - 1)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x - 1)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int {(x - 1)}^{3} x^{- 3} d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = x - 1$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 5.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 3} d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = u_{1} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} + 1$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 6.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.2

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.3

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.4

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1) - - - 1) {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 + 3 u_{2} (- - 1)) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int ({u_{2}}^{3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1) {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 {u_{2}}^{2} \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.8

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 u_{2} (- - 1) {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.9

Di chuyển $u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.10

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$\int {u_{2}}^{3} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{2}}^{3 - 3} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.12

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\int {u_{2}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.13

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.14

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{- 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{2 - 3} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.16

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.17

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} - 3 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.18

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 u_{2} \cdot {u_{2}}^{- 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.19

Nâng $u_{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- 3}) - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{1 - 3} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.21

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.22

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.23

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int 1 - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.24

Sắp xếp lại $1$ và $- 3 {u_{2}}^{- 1}$ .

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 1 + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.25

Di chuyển $1$ .

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} + 1 - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2}$

Bước 7.26

Di chuyển $1$ .

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} + 3 {u_{2}}^{- 2} - 1 {u_{2}}^{- 3} + 1 d u_{2}$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 3 {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 9

Vì $- 3$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$- 3 \int {u_{2}}^{- 1} d u_{2} + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 10

Tích phân của ${u_{2}}^{- 1}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + \int 3 {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 11

Vì $3$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - 1 {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int {u_{2}}^{- 3} d u_{2} + \int d u_{2}$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 3}$ đối với $u_{2}$ là $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} {u_{2}}^{- 2} + C) + \int d u_{2}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp ${u_{2}}^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{{u_{2}}^{- 2}}{2} + C) + \int d u_{2}$

Bước 15.2

Di chuyển ${u_{2}}^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + \int d u_{2}$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- 3 (\ln (| u_{2} |) + C) + 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + C) + u_{2} + C$

Bước 17

Rút gọn.

$- 3 \ln (| u_{2} |) - \frac{3}{u_{2}} + \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} + u_{2} + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} + 1$ .

$- 3 \ln (| u_{1} + 1 |) - \frac{3}{u_{1} + 1} + \frac{1}{2 {(u_{1} + 1)}^{2}} + u_{1} + 1 + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 1$ .

$- 3 \ln (| x - 1 + 1 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- 3 \ln (| x + 0 |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19.2

Cộng $x$ và $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x - 1 + 1} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x + 0} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19.4

Cộng $x$ và $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x - 1 + 1)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19.5

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 {(x + 0)}^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19.6

Cộng $x$ và $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x - 1 + 1 + C$

Bước 19.7

Cộng $- 1$ và $1$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + 0 + C$

Bước 19.8

Cộng $x$ và $0$ .

$- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$

Bước 20

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $- 3 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x + C$