Giải tích Ví dụ

$\arcsin (x)$

Bước 1

Đạo hàm của $\arcsin (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 - x^{2}}$ ở dạng ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.1.2

Viết lại $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 2.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 2.1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.7.2

Kết hợp ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.7.3

Di chuyển ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.9

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.12.2

Nhân $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Bước 2.14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

Bước 2.14.2

Kết hợp $\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.14.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.14.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.14.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$