Giải tích Ví dụ

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , nên $3 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Bước 5.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Bước 6.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Bước 6.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

Bước 8

Nhân $3$ với $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 3 x$ . Sau đó $d u_{2} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 10.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 11

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Bước 12

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 13

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

Bước 14

Rút gọn.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$