Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - \cos (x)$ . Sau đó $d u = \sin (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 1.1.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Bước 1.1.3.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$0 + \sin (x)$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Bước 1.3.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Bước 1.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Bước 1.5.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $1$ và tại $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Bước 5.2

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Bước 6

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định