Giải tích Ví dụ

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Bước 1

Kiểm tra xem đáp án đã cho có thỏa mãn phương trình vi phân đã cho không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} - 4 + c$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.3.3

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Bước 1.1.3.4

Vì $c$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $c$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Bước 1.1.3.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.5.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.3.5.2

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 3 x^{2}$

Bước 1.2

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Bước 1.3

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = x^{3} - 4 + c$ là đáp án của $y' = 3 x^{2}$

Bước 2

Thay vào điều kiện ban đầu.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Bước 3

Giải tìm $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $0^{3} - 4 + c = 5$ .

$0^{3} - 4 + c = 5$

Bước 3.2

Rút gọn $0^{3} - 4 + c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Bước 3.2.2

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$- 4 + c = 5$

Bước 3.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $c$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$c = 5 + 4$

Bước 3.3.2

Cộng $5$ và $4$ .

$c = 9$