Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 \sqrt{x}}{x - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

Bước 1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x - 2$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 \frac{(x - 2) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 11

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 12

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 12.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 \frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 12.3

Kết hợp $4$ và $\frac{(x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 ((x - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.5

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1.5.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.5.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + 1} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.5.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (2 \cdot - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.7

Viết lại $- 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.8

Nhân $4 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1.8.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.8.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 4 (- x^{\frac{1}{2}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.1.10

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 x^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.3.2

Trừ $4 x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.1.2

Đưa $- 2$ ra ngoài $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.1.3

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2 (- \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} - - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.3

Nhân $- - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.3.2

Nhân $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{- 2 (x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.4

Để viết $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.6.1

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.6.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.6.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.6.1.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 2 \frac{x^{\frac{2}{2}} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.6.1.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{- 2 \frac{x^{1} + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.4.6.2

Rút gọn $x^{1}$ .

$\frac{- 2 \frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.5

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{- 2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 13.8

Nhân $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ với $\frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{2 (x + 2)}{{(x - 2)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 (x + 2)}{x^{\frac{1}{2}} {(x - 2)}^{2}}$